Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²-ax，對于任意實(shí)數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a最大時，關(guān)于x的方程f（x）=k+x有三個不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)得：f′（x）=3x²+4x-a，對于任意實(shí)數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=3時，關(guān)于x的方程f（x）=k+x有三個不同的根，即k=x³+2x²-4x有三個不同的根，令g（x）=x³+2x²-4x，求出函數(shù)的極值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)得：f′（x）=3x²+4x-a，
對于任意實(shí)數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，
即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，
∴△=4+4a-16≤0
∴a≤3．
（2）當(dāng)a=3時，關(guān)于x的方程f（x）=k+x有三個不同的根，即k=x³+2x²-4x有三個不同的根
令g（x）=x³+2x²-4x，則g′（x）=3x²+4x-4
令g′（x）=0解得x₁=-2，x₂=

2

3

x，g′（x），g（x）情況如下表：

x	x→-∞	（-∞，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，+∞）	x→+∞
g′（x）		+	0	-	0	+
g（x）	g（x）→-∞	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小極	單調(diào)遞增	g（x）→+∞

由上表知，當(dāng)x=-2時g（x）取得極大值g（-2）=8，當(dāng)x=

2

3

時g（x）取得極小值g（

2

3

）=-

40

27

，
綜上可知，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-

40

27

，8）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查方程根的討論，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．