【題目】已知函數(shù),.
(I)求證:在區(qū)間上單調(diào)遞增;
(II)若,函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值,請(qǐng)說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù):)
【答案】(I)證明見解析;(II)有最小值,沒有最大值.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求出的導(dǎo)數(shù),設(shè),求出的導(dǎo)數(shù),運(yùn)用單調(diào)性即可得證;(Ⅱ)求出的導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,極值和當(dāng)時(shí),時(shí)的最大值,結(jié)合零點(diǎn)存在定理,以及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷有最小值,沒有最大值.
試題解析:(I)證明:∵,
∴,
設(shè),則,
∴當(dāng)時(shí),,∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.
∵,
∴當(dāng)時(shí),.
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(II)∵,
∴的定義域是,且,即.
∵,∴,
當(dāng)變化時(shí),、變化情況如下表:
∴當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上的最大值是.
當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最大值為.
即.
(1)當(dāng)時(shí),.
由(I)知,在上單調(diào)遞增.
又,,
∴存在唯一,使得,且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時(shí),有最小值.
(2)當(dāng)時(shí),,
∴在單調(diào)遞增.
又,
∴當(dāng)時(shí),.
∴在上單調(diào)遞增.
綜合(1)(2)及試題分析式可知,有最小值,沒有最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中且,.
(I)若,且時(shí),的最小值是-2,求實(shí)數(shù)的值;
(II)若,且時(shí),有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓內(nèi)有一點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦.
(1)當(dāng)時(shí),求弦的長(zhǎng);
(2)當(dāng)弦被平分時(shí),圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn),求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨機(jī)詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購(gòu)買食物時(shí)是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明,得到如下列聯(lián)表:
性別與讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計(jì) | |
讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 | 16 | 8 | 24 |
不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明 | 4 | 12 | 16 |
總計(jì) | 20 | 20 | 40 |
(Ⅰ)根據(jù)以上列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明之間有關(guān)系?
(Ⅱ)從被詢問的16名不讀營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的大學(xué)生中,隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽到男生人數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望).
(注:,其中為樣本容量.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,面為矩形,為的中點(diǎn),與交于點(diǎn).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,求四面體AA1BC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:在定義域上為減函數(shù);
(2)若時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2009年推出一種新型家用轎車,購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為萬(wàn)元,每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共萬(wàn)元,汽車的維修費(fèi)為:第一年無(wú)維修費(fèi)用,第二年為萬(wàn)元,從第三年起,每年的維修費(fèi)均比上一年增加萬(wàn)元.(1)設(shè)該輛轎車使用年的總費(fèi)用(包括購(gòu)買費(fèi)用、保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)及維修費(fèi))為,求的表達(dá)式;(2)這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算(即該車使用多少年,年平均費(fèi)用最少)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱(側(cè)棱垂直于底面,且底面是正三角形)中,是棱上一點(diǎn).
(1)若分別是的中點(diǎn),求證:平面;
(2)若是上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn),的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn),
(1)寫出的方程;
(2)若,求的值.
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