【題目】如圖，在正三棱柱（側棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一點．

（1）若分別是的中點，求證：平面；

（2）若是上靠近點的一個三等分點，求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連結交于點，連結，易知是的中點，然后利用中位線定理可使問題得證；（2）以為原點建立空間直角坐標系，然后求出相應點的坐標與向量，由此求得平面與平面的法向量，從而利用空間夾角公式求解．

試題解析：（1）連結交于點，連結，易知是的中點，

因為分別是的中點，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

因為平面平面，

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則點，設平面的一個法向量為．

則由得，

令，得，

易知平面的一個法向量為，設二面角的大小為，則

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的內角的對邊分別為，且．

（1）求角的大�。�

（2）若的面積為，且，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（I）求證：在區(qū)間上單調遞增；

（II）若，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值，請說明理由（參考數(shù)據(jù)：）

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【題目】設函數(shù).

（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；

（2）當時，對任意的都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知：方程有兩個不等的負根；：方程無實根.若“或”為真，“且”為假，求的取值范圍.

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【題目】某校高三文科名學生參加了月份的模擬考試，學校為了了解高三文科學生的數(shù)學、語文情況，利用隨機數(shù)表法從中抽取名學生的成績進行統(tǒng)計分析，抽出的名學生的數(shù)學、語文成績如下表.

（1）將學生編號為:, 若從第行第列的數(shù)開始右讀，請你依次寫出最先抽出的 個人的編號(下面是摘自隨機用表的第四行至第七行)

（2）若數(shù)學優(yōu)秀率為，求的值；

（3）在語文成績?yōu)榱嫉膶W生中，已知，求數(shù)學成績“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某城市有一直角梯形綠地，其中，km，km．現(xiàn)過邊界上的點處鋪設一條直的灌溉水管，將綠地分成面積相等的兩部分．

（1）如圖①，若為的中點，在邊界上，求灌溉水管的長度；

（2）如圖②，若在邊界上，求灌溉水管的最短長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在時取得極值，求實數(shù)的值；

（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線.

（1）若直線與圓交于不同的兩點，且，求的值；

（2）若，是直線上的動點，過作圓的兩條切線，，切點分別為，，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

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