Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，

（1）寫(xiě)出的方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題中條件：“點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，”結(jié)合橢圓的定義知其軌跡式樣，從而求得其方程；（2）先將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去得到一個(gè)一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量垂直的條件列關(guān)于方程式即可求得參數(shù)值.

試題解析：(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，－)、(0，)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，它的短半軸，

故曲線(xiàn)C的方程為.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯(lián)立方程

消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.

其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．

故，.

若，即x1x2＋y1y2＝0.

而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，

于是x1x2＋y1y2＝－，

化簡(jiǎn)得－4k2＋1＝0，所以k＝±.