【題目】如圖,在正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AA1=2,點Q為BC的中點.
(1)求證:平面AQC1⊥平面B1BCC1;
(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正切值.
【答案】(1)見解析(2).
【解析】
(1)先證明AQ⊥平面B1BCC1,由面面垂直的判定即可得證;
(2)建立空間直角坐標系,求出平面AQC1的一個法向量,求出,求出后即可得解.
(1)證明:由題意知:AB=AC,Q為BC的中點,∴AQ⊥BC,
由B1B⊥平面ABC得B1B⊥AQ,
∵BC,B1B平面B1BCC1,且BC∩B1B=B,
∴AQ⊥平面B1BCC1,又∵AQ平面AC1Q,
∴平面AC1Q⊥平面B1BCC1.
(2)建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz.
∵AB=AA1=2,
∴A(0,﹣1,0),B(,0,0),C(0,1,0),
A1(0,﹣1,2),B1(),C1(0,1,2),Q(,,0),
∴,,.
設(shè)為平面AQC1的一個法向量,
則,即,取y=﹣1,則,,,
設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ,
則span>,
∵,∴,
∴,
∴直線CC1與平面AQC1所成角的正切值為.
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【題目】分別為菱形的邊的中點,將菱形沿對角線折起,使點不在平面內(nèi),則在翻折過程中,以下命題正確的是___________.(寫出所有正確命題的序號)
①平面;②異面直線與所成的角為定值;③在二面角逐漸漸變小的過程中,三棱錐的外接球半徑先變小后變大;④若存在某個位程,使得直線與直線垂直,則的取值范圍是.
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【題目】如圖,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.
(1)設(shè)點為棱中點,在面內(nèi)是否存在點,使得平面?若存在,請證明,若不存在,說明理由;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)在平面直角坐標系中作出的圖象,并寫出不等式的解集.
(2)設(shè)函數(shù),,若,求的取值范圍.
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【題目】某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與患感冒人數(shù)之間的關(guān)系,分別到當?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月份至3月份每月5日、20日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如表資料:
日期 | 1月5日 | 1月20日 | 2月5日 | 2月20日 | 3月5日 | 3月20日 |
晝夜溫差() | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
就診人數(shù)(人) | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
該小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩余的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率;
(2)若選取的是1月20日,2月5日,2月20日,3月5日四組數(shù)據(jù).
①請根據(jù)這四組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程(,用分數(shù)表示);
②若某日的晝夜溫差為,預測當日就診人數(shù)約為多少人?
附參考公式:,.
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【題目】已知某民族品牌手機生產(chǎn)商為迎合市場需求,每年都會研發(fā)推出一款新型號手機.該公司現(xiàn)研發(fā)了一款新型智能手機并投入生產(chǎn),生產(chǎn)這款手機的月固定成本為80萬元,每生產(chǎn)1千臺,須另投入27萬元, 設(shè)該公司每月生產(chǎn)千臺并能全部銷售完,每1千臺的銷售收入為萬元,且.為更好推廣該產(chǎn)品,手機生產(chǎn)商每月還支付各類廣告費用20萬元.
(Ⅰ)寫出月利潤(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量(千臺)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當月產(chǎn)量為多少千臺時,該公司在這一型號的手機生產(chǎn)中所獲月利潤最大?
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【題目】某校從2011年到2018年參加“北約”,“華約”考試而獲得加分的學生(每位學生只能參加“北約”,“華約”一種考試)人數(shù)可以通過以下表格反映出來.(為了方便計算,將2011年編號為1,2012年編號為2,依此類推……)
年份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
人數(shù)y | 2 | 3 | 4 | 4 | 7 | 7 | 6 | 6 |
(1)據(jù)悉,該校2018年獲得加分的6位同學中,有1位獲得加20分,2位獲得加15分,3位獲得加10分,從該6位同學中任取兩位,記該兩位同學獲得的加分之和為X,求X的分布列及期望.
(2)根據(jù)最近五年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出y與x之間的線性回歸方程,并用以預測該校2019年參加“北約”,“華約”考試而獲得加分的學生人數(shù).(結(jié)果要求四舍五入至個位)
參考公式:
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【題目】在直角坐標系.xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為( 為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;
(2)已知曲線C2的極坐標方程為,點A是曲線C3與C1的交點,點B是曲線C3與C2的交點,且A,B均異于原點O,且|AB|=4,求α的值.
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【題目】南北朝時代的偉大數(shù)學家祖暅在數(shù)學上有突出貢獻,他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.其含義是:夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等,如圖,夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為,被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面的面積分別為,則“總相等”是“相等”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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