Question

【題目】從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，記作，）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．

（i）若使的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值高于企業(yè)制定的合格標(biāo)準(zhǔn)，則合格標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量指標(biāo)值大約為多少？

（ii）若該企業(yè)又生產(chǎn)了這種產(chǎn)品件，且每件產(chǎn)品相互獨立，則這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值不低于的件數(shù)最有可能是多少？

附：參考數(shù)據(jù)與公式：，；若，則①；②；③．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）（i）；（ii）．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法可直接求得；利用方差計算公式可求得樣本方差；（Ⅱ）（i）根據(jù)原則可驗證出，求得即為結(jié)果；（ii）根據(jù)原則可得到，從而得到這產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不低于的件數(shù)服從于，；根據(jù)二項分布概率公式構(gòu)造不等式，解不等式可求得，從而可得結(jié)果.

（Ⅰ）

（Ⅱ）由題意知：

（i）

∴時，滿足題意

即合格標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量指標(biāo)值約為：

（ii）由

可知每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不低于的事件概率為

記這產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不低于的件數(shù)為

則，其中

恰有件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值不低于的事件概率：

則，解得：

當(dāng)時，；

當(dāng)時，

由此可知，在這件產(chǎn)品中，質(zhì)量指標(biāo)值不低于的件數(shù)最有可能是