Question

【題目】已知橢圓的焦距為，橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線 與橢圓交于兩點，點（0，1），且=，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為可得，由的焦距為，可得，再由的關系可得，進而得到橢圓方程；（II）直線代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于，再由中點坐標公式和兩直線垂直的條件，可得的方程，解方程可得，從而可得直線方程.

試題解析：（Ⅰ）由已知，,解得，,

所以，

所以橢圓C的方程為。

（Ⅱ）由 得，

直線與橢圓有兩個不同的交點，所以解得。

設A（，），B（，）

則，，

計算，

所以，A，B中點坐標E（，）,

因為=，所以PE⊥AB，,

所以, 解得,

經(jīng)檢驗，符合題意，所以直線的方程為或.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據(jù)上述判斷設方程或 ；③找關系：根據(jù)已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.