Question

【題目】設(shè) = ， =（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知常數(shù)ω＞0，若y=f（ωx）在區(qū)間 是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
（3）設(shè)集合A= ，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2 4sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）

=4sinx +cos2x

=2sinx（1+sinx）+1﹣2sin2x=2sinx+1，

∴f（x）=2sinx+1．

（2）解：∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．

由2kπ﹣ ≤ωx≤2kπ+ ，

得f（ωx）的增區(qū)間是 ，k∈Z．

∵f（ωx）在 上是增函數(shù)，

∴ ．

∴﹣ ≥﹣ 且 ≤ ，

∴ ．

（3）解：由|f（x）﹣m|＜2，得﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2．

∵AB，∴當(dāng) ≤x≤ 時(shí)，

不等式f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立，

∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，

∵f（x）max=f（ ）=3，f（x）min=f（ ）=2，

∴m∈（1，4）．

【解析】（1）通過數(shù)量積的計(jì)算，利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，即可．（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，y=f（ωx）在區(qū)間 是增函數(shù)，說明 ．求出ω的取值范圍；（3）簡(jiǎn)化集合B，利用AB，得到恒成立的關(guān)系式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．