Question

如圖所示，把一些長度均為4米（PA+PB=4米）的鐵管折彎后當(dāng)作骨架制作“人字形”帳蓬，根據(jù)人們的生活體驗(yàn)知道：人在帳蓬里“舒適感”k與三角形的底邊長和底邊上的高度有關(guān)，設(shè)AB為x，AB邊上的高PH為y，則k

x+y

x2+y2

，若k越大，則“舒適感”越好．
（Ⅰ）求“舒適感”k的取值范圍；
（Ⅱ）已知M是線段AB的中點(diǎn)，H在線段AB上，設(shè)MH=t，當(dāng)人在帳蓬里的“舒適感”k達(dá)到最大值時(shí)，求y關(guān)于自變量t的函數(shù)解析式；并求出y的最大值（請(qǐng)說明詳細(xì)理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用不等式的知識(shí)求出k=

x+y

x2+y2

的取值范圍；
（Ⅱ）由PA+PB=4及（Ⅰ）的結(jié)論，得y與t的關(guān)系式，討論H點(diǎn)的位置，求出t的取值范圍，從而求出y的最大值y_max．

解答： 解：（Ⅰ）k=

x+y

x2+y2

=

x2+2xy+y2 x2+y2

=

1+ 2xy x2+y2

，
∵x²+y²≥2xy，∴

2xy

x2+y2

≤1，（當(dāng)x=y時(shí)，取“=”），
∴k≤

2

；
∵

2xy

x2+y2

＞0，
∴k＞1；
∴k的取值范圍是（1，

2

]；
（Ⅱ）由PA+PB=4及（Ⅰ）的結(jié)論，得

( 1 2 y+t)2+y2

+

( 1 2 y-t)2+y2

=4，
∴

( 1 2 y+t)2+y2

=4-

( 1 2 y-t)2+y2

，
兩邊平方，化簡得y=4

4-t2 20-t2

，
當(dāng)H與M重合時(shí)，t=0；當(dāng)H與A重合時(shí)，有PA=AB=y，∴y²+y²=（4-y）²，∴y=4

2

-4，即t=2

2

-2；
∴y=4

1- 16 20-t2

（0≤t≤2

2

-2）；
∵0≤t≤2

2

-2，∴

16

20-t2

∈[

4

5

，2

2

-2]；
∴1-

16

20-t2

∈[3-2

2

，

1

5

]，
∴y_max=

4 5

5

，此時(shí)t=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的定義域、值域以及函數(shù)的解析式和最值問題，是較難的題目．