Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=1，c=

3

2

．
（Ⅰ）求角C的取值范圍；
（Ⅱ）求4sinCcos（C+

π

6

）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)正弦定理分別求出sinC的取值范圍即可求角C的取值范圍；
（Ⅱ利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求4sinCcos（C+

π

6

）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理，得

1

sin?B

=

3 2

sin?C

，sinC=

3

2

sin?B．
由0＜sinB≤1，得0＜sinC≤

3

2

，
又b＞c，故C為銳角，
∴0＜C≤

π

3

．
（Ⅱ）4sinCcos（C+

π

6

）=4sinC（

3

2

cosC-

1

2

sinC）=2

3

sin?Ccos?C-2sin?2C=

3

sin?2C-1+cos?C=2sin?(2C+

π

6

)-1，
由0＜C≤

π

3

，
得

π

6

＜2C+

π

6

≤

5π

6

，
故sin?(2C+

π

6

)≥

1

2

，
∴4sinCcos（C+

π

6

）≥2×

1

2

-1=0（當(dāng)C=

π

3

時(shí)取到等號(hào)）
∴4sinCcos（C+

π

6

）的最小值是0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，利用正弦定理求出C的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．