【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓上的點(diǎn),過點(diǎn)的直線的方程為.

1)求橢圓的離心率;

2)當(dāng)時(shí),

i)設(shè)直線軸、軸分別相交于,兩點(diǎn),求的最小值;

ii)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求證:點(diǎn),三點(diǎn)共線.

【答案】12)(iii)證明見解析

【解析】

1)由橢圓方程求出可得離心率;

2)(i)求出直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo),可得出面積為,由在橢圓上,可得,由基本不等式可得的最大值,從而得面積最小值;

ii)求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),驗(yàn)證三點(diǎn)共線.可分類分別求解.

1)依題,,

所以橢圓離心率為.

2)依題意,令,由,得,則.

,由,得,則.

的面積.

因?yàn)辄c(diǎn)上,所以.

因?yàn)?/span>,即,則.

所以.

當(dāng)且僅當(dāng),即,,面積的最小值為.

3)由,解得.

①當(dāng)時(shí),,,此時(shí),.

因?yàn)?/span>,所以三點(diǎn),共線.

當(dāng)時(shí),也滿足.

②當(dāng)時(shí),設(shè),的中點(diǎn)為,則,代入直線的方程,得:

.

設(shè)直線的斜率為,則,

所以.

,解得.

所以.

當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),把,代入中得,則,三點(diǎn)共線.

當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等時(shí),

直線的斜率為.,.

所以直線的斜率為

.

因?yàn)?/span>,所以,三點(diǎn)共線,

綜上所述,三點(diǎn)共線.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.

1)設(shè),判斷上是否為有界函數(shù),若是,請(qǐng)說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請(qǐng)說明理由;

2)若函數(shù)上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意,都有;

1)若,求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

3)設(shè),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】互聯(lián)網(wǎng)+”智慧城市的重要內(nèi)容,A市在智慧城市的建設(shè)中,為方便市民使用互聯(lián)網(wǎng),在主城區(qū)覆蓋了免費(fèi)WiFi為了解免費(fèi)WiFiA市的使用情況,調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人):

經(jīng)常使用免費(fèi)WiFi

偶爾或不用免費(fèi)WiFi

合計(jì)

45歲及以下

70

30

100

45歲以上

60

40

100

合計(jì)

130

70

200

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷是否有90%的把握認(rèn)為A市使用免費(fèi)WiFi的情況與年齡有關(guān);

2)將頻率視為概率,現(xiàn)從該市45歲以上的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3.記被抽取的3人中偶爾或不用免費(fèi)WiFi的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,數(shù)學(xué)期望EX)和方差DX.附:,其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求二面角的大小;

(Ⅲ)已知點(diǎn)在棱上,且異面直線所成角的余弦值為,求線段的長.

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(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)求二面角的大;

(Ⅲ)在線段上存在一點(diǎn),使平面,且,求的值.

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1)從這班學(xué)生中任選一名男生,一名女生,求這兩名學(xué)生完成套卷數(shù)之和為4的概率?

2)若從完成套卷數(shù)不少于4套的學(xué)生中任選4人,設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

3)試判斷男學(xué)生完成套卷數(shù)的方差與女學(xué)生完成套卷數(shù)的方差的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論).

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2)當(dāng),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)證明:存在直線,滿足,并求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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