Question

【題目】在平面直角坐標系中，是橢圓：上的點，過點的直線的方程為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）當時，

（i）設直線與軸、軸分別相交于，兩點，求的最小值；

（ii）設橢圓的左、右焦點分別為，，點與點關于直線對稱，求證：點，，三點共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓方程求出可得離心率；

（2）（i）求出直線與坐標軸交點的坐標，可得出面積為，由在橢圓上，可得，由基本不等式可得的最大值，從而得面積最小值；

（ii）求出對稱點的坐標，驗證三點共線．可分類和分別求解．

（1）依題，，

所以橢圓離心率為.

（2）依題意，令，由，得，則.

令，由，得，則.

則的面積.

因為點在上，所以.

因為，即，則.

所以.

當且僅當，即，，面積的最小值為.

（3）由，解得.

①當時，，，此時，.

因為，所以三點，，共線.

當時，也滿足.

②當時，設，，的中點為，則，代入直線的方程，得：

.

設直線的斜率為，則，

所以.

由，解得，.

所以.

當點的橫坐標與點的橫坐標相等時，把，代入中得，則，，三點共線.

當點的橫坐標與點的橫坐標不相等時，

直線的斜率為.由，.

所以直線的斜率為

.

因為，所以，，三點共線，

綜上所述，，三點共線.