【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形,,,側(cè)面底面,是等邊三角形，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn) .

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線段上存在一點(diǎn)，使平面，且，求的值.

【答案】(1)詳見解析;(2) ;(3) .

【解析】

試題

(Ⅰ)由題意證得，結(jié)合線面平行的判斷定理可得平面.

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量可得二面角的大小為30°；

(Ⅲ)利用(II)中的空間直角坐標(biāo)系結(jié)合空間向量的坐標(biāo)表示得到關(guān)于實(shí)數(shù) 的方程，解方程可得.

試題解析：

（Ⅰ）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接

∵ 分別是的中點(diǎn)

∴ ，，∴

∴ 四點(diǎn)共面

∵ ，平面，∴平面

（Ⅱ）

∵ 平面 底面，

∴ 平面，過點(diǎn)作軸與平面垂直，則軸平面

以分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)平面的法向量為，則

設(shè)平面的法向量為

，，

，

，

∴

∴ ，∴所求二面角大小為.

（Ⅲ），，，，設(shè)

，，

∴ ，

∵ 平面，∴

∴ ， .

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意正整數(shù)，都有．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）如果等比數(shù)列共有2016項(xiàng)，其首項(xiàng)與公比均為2，在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與之間插入個后，得到一個新的數(shù)列．求數(shù)列中所有項(xiàng)的和；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得存在，使不等式成立，若存在，求實(shí)數(shù)的范圍，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線切于點(diǎn)，求的值；

（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求與滿足的關(guān)系；

（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時，對任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓：上的點(diǎn)，過點(diǎn)的直線的方程為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）當(dāng)時，

（i）設(shè)直線與軸、軸分別相交于，兩點(diǎn)，求的最小值；

（ii）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求證：點(diǎn)，，三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，橢圓的四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)， 的中點(diǎn)在圓上，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】車間將10名技工平均分成甲乙兩組加工某種零件,在單位時間內(nèi)每個技工加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.已知兩組技工在單位時間內(nèi)加工的合格零件平均數(shù)都為10.

(1)分別求出,的值;

(2)質(zhì)檢部門從該車間甲乙兩組技工中各隨機(jī)抽取一名技工,對其加工的零件進(jìn)行檢測,若兩人加工的合格零件個數(shù)之和大于17,則稱該車間“質(zhì)量合格”,求該車間“質(zhì)量合格”的概率;

(3)根據(jù)以上莖葉圖和你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識,分析兩組技工的整體加工水平及穩(wěn)定性.

(注:方差,其中為數(shù)據(jù),,…,的平均數(shù)).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinskitriangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個自相似的例子，其構(gòu)造方法是：

（1）取一個實(shí)心的等邊三角形（圖1）；

（2）沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個小三角形；

（3）挖去中間的那一個小三角形（圖2）；

（4）對其余三個小三角形重復(fù)（1）（2）（3）（4）（圖3）.

制作出來的圖形如圖4，圖5，….

若圖3（陰影部分）的面積為1，則圖5（陰影部分）的面積為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以O為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線與軸的交點(diǎn)為P，直線與曲線C的交點(diǎn)為A,B,求的值.

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