Question

7．如圖，A，A′，B分別是橢圓頂點，從橢圓上一點P向x軸作垂線，垂足為左焦點F，且AB∥OP，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先計算PF₁的長，再利用兩直線平行得tan∠POF₁，最后在直角三角形POF₁中，找到a、b、c間的等式，從而求出離心率

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），將x=-c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，得y=±$\frac{^{2}}{a}$
∴PF₁=$\frac{^{2}}{a}$，OF₁=c
∵AB∥OP，∴tan∠POF₁=tan∠BAO=$\frac{a}$
∴在直角三角形POF₁中，tan∠POF₁=$\frac{{PF}_{1}}{{OF}_{1}}$=$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{a}$
∴b=c，∴a=$\sqrt{2}$c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓離心率的求法，將已知幾何條件轉(zhuǎn)化為橢圓特征量a、b、c間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．