Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin2x+2sinxcosx-

3

(

π

3

≤x≤

11π

24

)．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知銳角△ABC的兩邊長(zhǎng)分別為函數(shù)f（x）的最大值與最小值，且△ABC的外接圓半徑為

3 2

4

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）利用輔助角公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）不妨設(shè)a=

3

，b=2，利用△ABC的外接圓半徑為

3 2

4

，求出sinA，sinB，進(jìn)而求出sinC，即可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）f（x）=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
∵

π

3

≤x≤

11π

24

，
∴

π

3

≤2x-

π

3

≤

7π

12

，
∴

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴

3

≤2sin（2x-

π

3

）≤2，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇

3

，2]；
（2）不妨設(shè)a=

3

，b=2，
∵△ABC的外接圓半徑為

3 2

4

，
∴sinA=

a

2r

=

6

3

，sinB=

b

2r

=

2 2

3

，
∴cosA=

3

3

，cosB=

1

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

6

3

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•

3

•2•

6

3

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用輔助角公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，考查正弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．