Question

已知橢圓M、拋物線N的焦點均在x軸上的，且M的中心和M的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求M，N的標準方程；
（Ⅱ）已知定點A（1，

1

2

），過原點O作直線l交橢圓M于B，C兩點，求△ABC面積的最大值和此時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線M：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p（x≠0），據(jù)此驗證4個點知（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，可得N的標準方程，將另外兩點代入橢圓方程，可求M的標準方程；
（Ⅱ）分類討論，當直線BC不垂直于x軸時，設(shè)該直線方程為y=kx，代入橢圓方程，表示出面積，利用換元法，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線M：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p（x≠0）
據(jù)此驗證4個點知（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，
∴N的標準方程為y²=4x．…（2分）
設(shè)M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把點（-2，0），（

2

，

2

2

）
代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得a²=4，b²=1
∴M的標準方程為

x2

4

+y²=1；                                           （6分）
（Ⅱ）當直線BC垂直于x軸時，BC=2，則S_△ABC=1
當直線BC不垂直于x軸時，設(shè)該直線方程為y=kx，
代入橢圓方程，消y得x²=

4

4k2+1

不妨設(shè)B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
∴|BC|=

(xB-xA)2+(yB-yA)2

=

4 1+k2

4k2+1

                                     （9分）
∵點A到直線BC的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

∴S_△ABC=

1

2

|BC|×d=

|2k-1|

4k2+1

=

4k2-4k+1

4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

，（12分）
令t=

4k

4k2+1

，則4tk²-4k+t=0，
由△_k=16-16t²≥0得-1≤t≤1
∴當

4k

4k2+1

=-1時，面積取得最大值

2

，此時k=-

1

2

．
綜上所述，當直線的方程為y=-

1

2

x時，△ABC的面積取得最大值

2

         （14分）

點評：本題考查拋物線、橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．