Question

已知拋物線C：y=x²，直線l：x-2y-2=0，點(diǎn)P是直線l上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，直線PM，PN斜率分別為k₁，k₂，如圖所示
（1）若P（4，1），求證：k₁+k₂=16；
（2）若MN過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)過(guò)P的切線方程：y-1=k（x-4），代入拋物線C得：x²-kx+4k-1=0，由△=0，能證明k₁+k₂=16．
（2）設(shè)MN：y=kx+

1

4

，代入拋物線方程得x2-kx-

1

4

=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），對(duì)y=x²求導(dǎo)數(shù)，求出直線PM和直線PN的方程，由此能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： （本小題12分）
（1）證明：設(shè)過(guò)P的切線方程為：y-1=k（x-4），
代入拋物線C，消去y得：x²-kx+4k-1=0，
由△=k²-4（4k-1）=0，∴k²-16k+4=0，
∵該方程的兩個(gè)根為直線PM，PN斜率k₁，k₂，
∴k₁+k₂=16．（5分）
（2）解：∵拋物線的焦點(diǎn)(0，

1

4

)，∴設(shè)MN：y=kx+

1

4

，
代入拋物線方程消去y得：x2-kx-

1

4

=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=k，x1x2=-

1

4

，
對(duì)y=x²求導(dǎo)數(shù)，y'=2x，∴k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴直線PM：y-y₁=2x₁（x-x₁），直線PN：y-y₂=2x₂（x-x₂），
∴點(diǎn)P(k，-

1

4

)，∵P在直線l上，∴k=

3

2

，
∴P(

3

2

，-

1

4

)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線斜率和為16的證明，考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．