Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1，經(jīng)過點M（1，1）能否作一條直線l，使直線l與雙曲線交于A、B，且M是線段AB的中點，若存在這樣的直線l，求出它的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

設(shè)過點M（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當(dāng)k存在時有

y=k(x-1)+1 x2 - y2 2 =1

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個不同點，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

   
又方程（1）的兩個不同的根是兩交點A、B的橫坐標(biāo)
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

    又M（1，1）為線段AB的中點
∴

x1+x2

2

=1   即

k-k2

2-k2

=1   k=2 
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時，方程（1）無實數(shù)解
故過點m（1，1）與雙曲線交于兩點A、B且M為線段AB中點的直線不存在．
（2）當(dāng)x=1時，直線經(jīng)過點M但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在