Question

【題目】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓的利息率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)其交拋物線于點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在，之間移動(dòng).

（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求的值；

（2）若的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，當(dāng)的面積取最大值時(shí)，求面積最大值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）用表示出，，根據(jù)基本不等式得出的值，從而得出和的方程；

（2）用表示出橢圓方程，聯(lián)立方程組得出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出△的三邊關(guān)于的式子，從而確定的值，求出的距離和到直線的距離，利用二次函數(shù)性質(zhì)得出面積的最大值，即可求得直線的方程．

解：（1）因?yàn)?/span>，，則，，

所以當(dāng)取最小值時(shí)，，又因?yàn)?/span>，所以.

（2）因?yàn)?/span>，，則，，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

設(shè)，，由得，所以或（舍去），代入拋物線方程得，即，

于是，，，又因?yàn)?/span>的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以.此時(shí)拋物線方程為，，，則直線的方程為.聯(lián)立，得或（舍去），于是，所以，

設(shè)（）到直線的距離為，則，當(dāng)時(shí)，，所以的面積的最大值為.此時(shí).