【題目】拋物線(xiàn):過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)的方程;
(2)設(shè)為軸上一點(diǎn),為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn),求的最小值;
(3)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),作相互垂直的兩條弦和,求的最小值.
【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí),的最小值為;當(dāng)時(shí),的最小值為(3)32
【解析】
(1)將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程,解出,即可求出;
(2)設(shè)出點(diǎn),根據(jù)距離公式表示出,再根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)即可求出;
(3)由題可知兩直線(xiàn)斜率都存在,所以設(shè):,:,將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出,,根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出和的長(zhǎng),然后根據(jù)基本不等式即可求出.
(1)將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程,得,解得,
所以?huà)佄锞(xiàn)的方程為:.
(2)設(shè)點(diǎn),則,.
所以.
設(shè),對(duì)稱(chēng)軸為,
當(dāng)即時(shí),在上單調(diào)遞增,所以,即的最小值為;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,的最小值為.
綜上,當(dāng)時(shí),的最小值為;當(dāng)時(shí),的最小值為.
(3)由題可知兩直線(xiàn)斜率都存在,設(shè),,
:,:,
由,化簡(jiǎn)得,,所以,
同理可得,,即,,
故.
即的最小值為32.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱(chēng)為橢圓的相似比.已知橢圓.
(1)若橢圓,判斷與是否相似?如果相似,求出與的相似比;如果不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)寫(xiě)出與橢圓相似且短半軸長(zhǎng)為的橢圓的方程;若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的參數(shù)方程;
(2)若曲線(xiàn)與曲線(xiàn),在第一象限分別交于兩點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大城市一家餐飲企業(yè)為了了解外賣(mài)情況,統(tǒng)計(jì)了某個(gè)送外賣(mài)小哥某天從9:00到21:00這個(gè)時(shí)間段送的50單外賣(mài).以2小時(shí)為一時(shí)間段將時(shí)間分成六段,各時(shí)間段內(nèi)外賣(mài)小哥平均每單的收入情況如下表,各時(shí)間段內(nèi)送外賣(mài)的單數(shù)的頻率分布直方圖如下圖.
時(shí)間區(qū)間 | ||||||
每單收入(元) | 6 | 5.5 | 6 | 6.4 | 5.5 | 6.5 |
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中的值,并求這個(gè)外賣(mài)小哥送這50單獲得的收入;
(Ⅱ)在這個(gè)外賣(mài)小哥送出的50單外賣(mài)中男性訂了25單,且男性訂的外賣(mài)中有20單帶飲品,女性訂的外賣(mài)中有10單帶飲品,請(qǐng)完成下面的列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為“帶飲品和男女性別有關(guān)”?
帶飲品 | 不帶飲品 | 總計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
總計(jì) |
附:
0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,平面平面ABC,,.
(1)若,求證:平面平面PBC;
(2)若PA與平面ABC所成的角為,求二面角C-PB-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知半圓:,、分別為半圓與軸的左、右交點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直,點(diǎn)在直線(xiàn)上,縱坐標(biāo)為,若在半圓上存在點(diǎn)使,則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表;
鍛煉不達(dá)標(biāo) | 鍛煉達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
并通過(guò)計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出5人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流,再?gòu)倪@5人中選出2人作重點(diǎn)發(fā)言,求作重點(diǎn)發(fā)言的2人中,至少1人是女生的概率.
參考公式:,其中.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】記無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為,最小值為,令.
(1)若,寫(xiě)出,,,的值;
(2)設(shè),若,求的值及時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是等差數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】七巧板是古代中國(guó)勞動(dòng)人民發(fā)明的一種中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具,它由五塊等腰直角三角形,一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成.清陸以湉《冷廬雜識(shí)》卷一中寫(xiě)道:近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其變化之式多至千余.體物肖形,隨手變幻,蓋游戲之具,足以排悶破寂,故世俗皆喜為之.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為( )
A. B. C. D.
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