【題目】定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓.
(1)若橢圓,判斷
與
是否相似?如果相似,求出
與
的相似比;如果不相似,請說明理由;
(2)寫出與橢圓相似且短半軸長為
的橢圓
的方程;若在橢圓
上存在兩點
、
關(guān)于直線
對稱,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)相似;相似比為;(2)
;
.
【解析】
(1)分別求出兩個橢圓的特征三角形的腰長和底邊長2
,進(jìn)而求出兩個橢圓的相似比;
(2)由題意易得與橢圓與橢圓
的相似比為1:
,進(jìn)而可求得橢圓
得長半軸長,即可得橢圓
的方程為
;設(shè)直線方程
為
,聯(lián)立直線方程和橢圓
的方程消元化簡,借助于
與
的交點關(guān)于
對稱和根的判別式大于零,可求得
的取值范圍.
(1)由題意知:橢圓的特征三角形是腰長為
=2,底邊長2
=2
的等腰三角形; 橢圓
的特征三角形是腰長為
=4,底邊長2
=4
的等腰三角形,則由
,得兩個三角形相似,所以可得橢圓
與橢圓
相似,且相似比為
;
(2)由橢圓和橢圓
相似,且短半軸長分別為1和
,可得相似比為1:
,則可得橢圓
的長半軸長為2
,所以橢圓
的方程為:
;
由題意設(shè)直線為
,點M
,N
,中點坐標(biāo)為(
),
聯(lián)立消元化簡得:
∴∴
,
, ∴中點坐標(biāo)為(
,
)
由中點在直線上,可得
=
+1,解得
=
,
由直線與橢圓
有兩個不同的交點得
,
代入=
解得
.
故實數(shù)的取值范圍為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校今年高三畢業(yè)班報考飛行員學(xué)生的體重情況,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1:2:3,其中體重在的有5人.
(1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù);
(2)從該校報考飛行員的體重在學(xué)生中任選3人,設(shè)
表示體重超過70
的學(xué)生人數(shù),求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓經(jīng)過點
,且點
到橢圓的兩焦點的距離之和為
.
(l)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓
上的兩個點,線段
的中垂線
的斜率為
且直線
與
交于點
,
為坐標(biāo)原點,求證:
三點共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,(其中常數(shù)
).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的極值;
(2)若函數(shù)有兩個零點
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最大值為
,其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為
,且
的圖像關(guān)于點
對稱,則下列判斷正確的是()
A. 函數(shù)在
上單調(diào)遞增
B. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線
對稱
C. 當(dāng)時,函數(shù)
的最小值為
D. 要得到函數(shù)的圖像,只需要
將的圖像向右平移
個單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點
為極點,
軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線
的參數(shù)方程;
(2)若曲線與曲線
,
在第一象限分別交于
兩點,且
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線:
過點
.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)為
軸上一點,
為拋物線上任意一點,求
的最小值;
(3)過拋物線的焦點
,作相互垂直的兩條弦
和
,求
的最小值.
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