Question

【題目】記無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令．

（1）若，寫(xiě)出，，，的值；

（2）設(shè)，若，求的值及時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列是等差數(shù)列”．

Answer 1

【答案】（1），（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）分別計(jì)算出，，，結(jié)合題意即可得b1，b2，b3，b4的值；

（2）由新定義，可得λ＞0，考慮三種情況求得λ，檢驗(yàn)可得所求λ；進(jìn)而得到bn，由數(shù)列的分組求和，可得所求和；

（3）充分性易證，無(wú)論d為何值，始終有bn，即可證得結(jié)果，必要性須分類(lèi)證明．

解：（1） 因?yàn)?/span>，所以，

所以，

（2），

當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，,解得；

當(dāng)時(shí)，無(wú)解，

此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)遞增，

，

所以當(dāng)時(shí)，

（3）必要性：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.

當(dāng)時(shí)是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)是常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列；

都有，

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

充分性：數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為

則，

由題意知，，

當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都成立，

即，所以是遞增數(shù)列，

，

所以是公差為的等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而

所以是遞減數(shù)列，，

，

所以是公差為的等差數(shù)列

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>與中至少有一個(gè)為，所以二者都為，

進(jìn)而得為常數(shù)列，

綜上，充分性成立.