【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1,求函數(shù)在上的最值;
(2)令,若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)且時(shí),證明.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ); (Ⅲ)證明過(guò)程見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1,可求出參數(shù)的值,再對(duì)導(dǎo)函數(shù)在的正負(fù),求出在上單調(diào)性,即可求出 的最值;(Ⅱ)由,構(gòu)造輔助函數(shù),再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo),討論的取值范圍,利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值,進(jìn)而確定的取值范圍;(Ⅲ)構(gòu)造輔助函數(shù),求導(dǎo),求出在的單調(diào)性,可求出的最小值,即可證明不等式成立.
試題解析:(Ⅰ)∵,∴,∴,
∴,記,∴,令得.
當(dāng)時(shí),單減;當(dāng)時(shí),單增,
∴,
故恒成立,所以在上單調(diào)遞增,
∴.
(Ⅱ)∵,∴.
令,∴,
當(dāng)時(shí),,∴在上單增,∴.
(i)當(dāng)即時(shí),恒成立,即,∴在上單增,
∴,所以.
(ii)當(dāng)即時(shí),∵在上單增,且,
當(dāng)時(shí),,
∴,使,即.
當(dāng)時(shí),,即單減;
當(dāng)時(shí),,即單增.
∴,
∴,由,∴,記,
∴,∴在上單調(diào)遞增,
∴,∴,
綜上,.
(Ⅲ)等價(jià)于,
即.
∵,∴等價(jià)于.
令,
則.
∵,∴.
當(dāng)時(shí),,單減;
當(dāng)時(shí),,單增.
∴在處有極小值,即最小值,
∴,
∴且時(shí),不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(Ⅱ)討論與的大小關(guān)系;
(Ⅲ)求的取值范圍,使得對(duì)任意成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)篷勃發(fā)展的新機(jī)遇,2016年雙11期間,某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)一千多億人民幣.與此同時(shí),相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系.現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易,并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),對(duì)商品的好評(píng)率為0.6,對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75,其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.
(Ⅰ)請(qǐng)完成如下列聯(lián)表;
(Ⅱ)是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)?
(Ⅲ)若針對(duì)商品的好評(píng)率,采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易,并從中選擇兩次交易進(jìn)行客戶回訪,求只有一次好評(píng)的概率.
(,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù),且f(2)=.
(1)求實(shí)數(shù)m和n的值;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)與在處的切線互相垂直,求的值;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求的取值范圍;
(3)是否存在正實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立?若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(m,n)(m≠0)都在橢圓C上,直線PA交x軸于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程,并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m,n表示);
(2)設(shè)O為原點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,直線PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn):y軸上是否存在點(diǎn)Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 滿足關(guān)系(其中是常數(shù)).
()如果, ,求函數(shù)的值域;
()如果, ,且對(duì)任意,存在, ,使得恒成立,求的最小值;
()如果,求函數(shù)的最小正周期(只需寫(xiě)出結(jié)論).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|y=},B={x|x2-x-6=0}.
(1)若a=-1,求A∩B;
(2)若()∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),對(duì)于x∈R恒成立,且f(x)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為10,f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3),求f(x)的解析式.
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