【題目】設(shè)函數(shù)

1)當(dāng)時(shí),函數(shù)處的切線互相垂直,求的值;

2)若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào),求的取值范圍;

(3)是否存在正實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立?若存在,求出滿足條件的實(shí)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);2;(3

【解析】

試題分析:(1)本小題主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率;當(dāng)時(shí),,可知處的切線斜率,同理可求得,然后再根據(jù)函數(shù)處的切線互相垂直,得,即可求出結(jié)果

(2)易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,可得,由題意,內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線與x不相切,即的最小值為負(fù),由此可得,進(jìn)而得到,由此即可求出結(jié)果. (3),可得,令,則,所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,且在區(qū)間內(nèi)必存在實(shí)根,不妨設(shè),可得,(*),則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,

,,將(*)式代入上式,得.使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,即要求恒成立,然后再根據(jù)基本不等式的性質(zhì),即可求出結(jié)果.

試題解析:

(1)當(dāng)時(shí),,

處的切線斜率,

,得,,

(2)易知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

由題意,得的最小值為負(fù),

(注:結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到)

,

(3),其中,

,

,

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,且在區(qū)間內(nèi)必存在實(shí)根,不妨設(shè),

,可得,(*)

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,

,,

(*)式代入上式,得

根據(jù)題意恒成立,

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),

,

,代入(*)式,得,

,又,

,∴存在滿足條件的實(shí)數(shù),且

點(diǎn)睛:對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問(wèn)題,可以求函數(shù)最值的方法, 一般通過(guò)變量分離,將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,然后再構(gòu)造輔助函數(shù),利用恒成立;恒成立,即可求出參數(shù)范圍.

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