Question

某合資企業(yè)招聘夫?qū)W生時(shí)加試英語聽力，待測試的小組中有男、女生共10人（其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)），若從中隨機(jī)選2人，其中恰為一男一女的概率為

8

15

．
（Ⅰ）求該小組中女生的人數(shù)：
（Ⅱ）若該小組中每個(gè)女生通過測試的概率均為

3

4

，每個(gè)男生通過測試的概率均為

2

3

；現(xiàn)對該小組中女生甲、女生乙和男生丙、男生丁4人進(jìn)行測試，記這4人中通過測試的人數(shù)為隨機(jī)變量X．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）設(shè)出該小組中有n個(gè)女生，根據(jù)古典概型的概率公式得到比值，等于恰為一男一女的概率，解出關(guān)于n的方程．
（Ⅱ）由題意知X的取值為0，1，2，3，4，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，得到變量對應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)該小組中有n個(gè)女生，
由題意，得

C 1 n C 1 10-n

C 2 10

=

8

15

，
解得n=6或n=4（舍），
所以該小組有6名女生；
（Ⅱ）由題意，X的取值為0，1，2，3，4
P（X=0）=(

1

4

)2×(

1

3

)2=

1

144

，
P（X=1）=

C

1 2

×

3

4

×

1

4

×(

1

3

)2+

C

1 2

×(

1

4

)2×

2

3

×

1

3

=

5

72

，
P（X=2）=(

3

4

)2×(

1

3

)2+(

C

1 2

)2×

3

4

×

2

3

×

1

4

×

1

3

+(

1

4

)2×(

2

3

)2=

37

144

，
P（X=3）=

C

1 2

×

3

4

×

1

4

×(

2

3

)2+

C

1 2

×(

3

4

)2×

2

3

×

1

3

=

5

12

，
P（X=4）=(

3

4

)2×(

2

3

)2=

1

4

．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	1 144	5 72	37 144	5 12	1 4

所以EX=0×

1

144

+1×

5

72

+2×

37

144

+3×

5

12

+4×

1

4

=

17

6

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，考查利用概率與統(tǒng)計(jì)的知識解決實(shí)際問題．