Question

已知點（

5π

12

，2）在函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜

π

2

）的圖象上，對任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及對稱軸方程；
（2）設A={x|

π

4

≤x≤

π

2

}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,集合的包含關(guān)系判斷及應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得函數(shù)的半周期，代入周期公式求得ω，再把點（

5π

12

，2）代入函數(shù)解析式結(jié)合φ的范圍求得φ值，則函數(shù)解析式可求．再由使函數(shù)取得最值的x值得到對稱軸方程；
（2）由|f（x）-m|＜1得到f（x）-1＜m＜f（x）+1，再由集合A中x的范圍求出函數(shù)f（x）的最大值和最小值，則m的取值范圍可求．

解答： 解：（1）對于函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），
∵對任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

．
∴

T

2

=

π

2

，則T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
又點（

5π

12

，2）在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴f(

5π

12

)=2sin(2×

5π

12

+φ)=2，即sin(

5π

6

+φ)=1．
∵0＜|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

3

．
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z；
（2）由|f（x）-m|＜1，得：-1＜f（x）-m＜1，即f（x）-1＜m＜f（x）+1，
∵A⊆B，
∴當

π

4

≤x≤

π

2

時，f（x）-1＜m＜f（x）+1恒成立．
∴[f（x）-1]_max＜m＜[f（x）+1]_min，
又

π

4

≤x≤

π

2

時，f(x)max=f(

5π

12

)=2，f(x)min=f(

π

4

)=1．
∴m∈（1，2）．

點評：本題考查f（x）=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象變換，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的運用，考查了集合間的包含關(guān)系的運用，對于（2）的求解，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．