Question

已知命題p：對于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；命題q：不等式x²+ax+2＜0有解，若p∨q為真，且p∧q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：分別求出命題p，q中的a的取值范圍，再利用若p∨q為真，且p∧q為假，則p與q一真一假．即可得出．

解答： 解：若命題p：對于m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；
由于(

m2+8

)max=3，∴a²-5a-3≥3，解得a≥6或a≤-1．
若命題q：不等式x²+ax+2＜0有解，則△=a²-8≥0，解得a≥2

2

或a≤-2

2

．
若p∨q為真，且p∧q為假，則p與q一真一假．
當p真q假時，

a≥6或a≤-1 -2 2 ＜a＜2 2

，解得-2

2

＜a≤-1，此時a∈(-2

2

，-1]．
當q真p假時，

-1＜a＜6 a≥2 2 或a≤-2 2

，解得2

2

≤a＜6，此時a∈[2

2

，6)．
綜上可知：a的取值范圍是(-2

2

，-1]∪[2

2

，6)．

點評：本題考查了簡易邏輯的有關知識、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、分類討論思想方法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．