Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，方程的實根個數(shù)不少于2個，證明：

（2）若在，處導(dǎo)數(shù)相等，求的取值范圍，使得對任意的，，恒有成立.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性及最值，分析函數(shù)的大致圖象，即可求出滿足條件的的取值范圍；

（2）先由題意知在不單調(diào)得，分與兩種情況，研究的最大值，從而得證.

（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：.

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：.

時，，單調(diào)遞增；

時，單調(diào)遞減

因為時，時.

所以有兩個不同的實數(shù)根，（其中）.

時，即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減；

時，即在上單調(diào)遞增.

又因為時，時，

所以，

故即有實根個數(shù)不少于2個

由題意得，.

因為，所以.

故.

（2）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

由題意得，在不單調(diào)

所以，

函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：.

又時，單調(diào)遞增：時，單調(diào)遞減

所以a的取值范圍是

因為時，時.

所以，.

由得，.

而，其中.

設(shè)，，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

.即在上單調(diào)遞增

所以，.即.

因此，.

故.即在上單調(diào)遞減.

若，則

.即在上單調(diào)遞減.

所以

若，因為，所以必有，使得當(dāng)時，

即在上單調(diào)遞增，這與恒成立矛盾.

綜上，.（開閉區(qū)間不作要求）