【題目】已知橢圓:過(guò)點(diǎn),且以,為焦點(diǎn),橢圓的離心率為.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),問(wèn)橢圓上是否存在點(diǎn),使線段和線段相互平分?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由。
【答案】(1)1;(2)存在使線段和相互平分,其坐標(biāo)為,或.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn),離心率以及,列方程組可得答案;
(2)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理得到中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)線段和線段相互平分,得到點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程即可得到答案.
解:(1)橢圓方程為()過(guò)點(diǎn),
.
,為橢圓的焦點(diǎn),橢圓的離心率為,
,.解得,,
.
(2)由(1)有橢圓的方程為,.
假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,且和相交于點(diǎn).
則,,,
當(dāng)直線與軸重合時(shí),不滿足題意.
設(shè)直線的方程為,,.
聯(lián)立得,
,.
則,,
將代入有.
解得,,或,
故存在使線段和相互平分,其坐標(biāo)為,或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,,且.
(1)若,求證:平面BDE;
(2)若二面角為,求直線CD與平面BDE所成角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的焦點(diǎn)在軸上,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線、分別與橢圓交于點(diǎn)、點(diǎn),且,試判斷直線與圓:的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,試判斷是否為封閉數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(2)已知數(shù)列滿足且,設(shè)是該數(shù)列的前項(xiàng)和,試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使得對(duì)任意都有,且,若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值;若不存在,說(shuō)明理由;
(3)證明等差數(shù)列成為“封閉數(shù)列”的充要條件是:存在整數(shù),使.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國(guó)古畫,現(xiàn)收藏于中國(guó)臺(tái)北故宮博物院.該作品簡(jiǎn)介:院角的棗樹(shù)結(jié)實(shí)累累,小孩群來(lái)攀扯,枝椏不;蝿(dòng),粒粒棗子搖落滿地,有的牽起衣角,有的捧著盤子拾取,又玩又吃,一片興高采烈之情,躍然于絹素之上.甲、乙、丙、丁四人想根據(jù)該圖編排一個(gè)舞蹈,舞蹈中他們要模仿該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂四個(gè)動(dòng)作,四人每人模仿一個(gè)動(dòng)作.若他們采用抽簽的方式來(lái)決定誰(shuí)模仿哪個(gè)動(dòng)作,則甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線y=b與函數(shù)f(x)=2x+3和g(x)=ax+lnx分別交于A,B兩點(diǎn),若AB的最小值為2,則a+b=_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)到直線的距離為1.
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
若P為橢圓上的一點(diǎn)點(diǎn)P不在y軸上,過(guò)點(diǎn)O作OP的垂線交直線于點(diǎn)Q,求的值.
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