【題目】已知函數(shù)，．

求證：對恒成立；

若，若，，求證：

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）先對不等式左邊進(jìn)行化簡整理，然后將整理后的表達(dá)式設(shè)為函數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的分析，得到在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，命題得證．

（2）先對整理后的進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的分析，畫出函數(shù)大致圖象，可知，然后采用先取對數(shù)然后作差的方法比較大小，關(guān)鍵是構(gòu)造對數(shù)平均數(shù)，利用對數(shù)平均不等式即可證明．

證明：由題意，可知

．

令，則

，，

當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時，．

故命題得證．

由題意，，．

，．

令，解得；

令，解得；

令，解得．

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在處取得極小值．

大致圖象如下：

根據(jù)圖，可知，．

，，

根據(jù)對數(shù)平均不等式，有

，

．

，

．

故得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：過點(diǎn)，且以，為焦點(diǎn)，橢圓的離心率為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）過左焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，問橢圓上是否存在點(diǎn)，使線段和線段相互平分?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax﹣1，a∈R．

（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a≤0，求證：x≥0時，f（x）≥x2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓，離心率，短軸，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，焦點(diǎn)為，

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，為橢圓是一點(diǎn)，且有，當(dāng)線段的中點(diǎn)在軸上時，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)初在為《周髀算經(jīng)》作注時驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為　　

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，點(diǎn)在底面上的射影恰是的中點(diǎn)，側(cè)棱和底面成角．

（1）若為側(cè)棱上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時，；

（2）求二面角的余弦值大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C、D的動點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折過程中，下列三個說法中正確的個數(shù)是（ ）

①存在點(diǎn)E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC；

②存在點(diǎn)E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC；

③二面角S﹣AB﹣E的平面角總是小于2∠SAE．

A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)定義：設(shè)是非零實(shí)常數(shù)，若對于任意的，都有，則稱函數(shù)為“關(guān)于的偶型函數(shù)”

（1）請以三角函數(shù)為例，寫出一個“關(guān)于2的偶型函數(shù)”的解析式，并給予證明

（2）設(shè)定義域?yàn)榈摹瓣P(guān)于的偶型函數(shù)”在區(qū)間上單調(diào)遞增，求證在區(qū)間上單調(diào)遞減

（3）設(shè)定義域?yàn)?/span>的“關(guān)于的偶型函數(shù)”是奇函數(shù)，若，請猜測的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個自相似的例子，其構(gòu)造方法是：

（1）取一個實(shí)心的等邊三角形（圖1）；

（2）沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個小三角形；

（3）挖去中間的那一個小三角形（圖2）；

（4）對其余三個小三角形重復(fù)（1）（2）（3）（4）（圖3）.

制作出來的圖形如圖4，….

若圖1（陰影部分）的面積為1，則圖4（陰影部分）的面積為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案