【題目】定義在區(qū)間[﹣2,t](t>﹣2)上的函數(shù)f(x)=(x2﹣3x+3)ex(其中e為自然對數(shù)的底).
(1)當t>1時,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)m=f(﹣2),n=f(t),求證:m<n;
(3)設(shè)g(x)=f(x)+(x﹣2)ex , 當x>1時,試判斷方程g(x)=x的根的個數(shù).
【答案】
(1)解:因為f′(x)=(x2﹣3x+3)ex+(2x﹣3)ex=x(x﹣1)ex.
當t>1時,由f′(x)>0,可得t>x>1或﹣2<x<0;由f′(x)<0,可得0<x<1,
所以f(x)在(﹣2,0),(1,t)上遞增,在(0,1)上遞減.
(2)解:證明:由f′(x)>0,可得x>1或x<0;由f′(x)<0,可得0<x<1
所以f(x)在(﹣∞,0),(1,+∞)上遞增,在(0,1)上遞減,所以f(x)在x=1處取得極小值f(1)=e.
又∵f(﹣2)=13e﹣2<e,所以f(x)僅在x=﹣2處取得[﹣2,t]上的最小值f(﹣2)
從而當t>﹣2時,f(﹣2)<f(t),即m<n.
(3)解:設(shè)g(x)=f(x)+(x﹣2)ex=(x﹣1)2ex,當x>1時判斷方程g(x)=x根的個數(shù)等價于(x﹣1)2ex=x當x>1時根的個數(shù)
設(shè)h(x)=(x﹣1)2ex﹣x(x>1),則h′(x)=(x2﹣1)ex﹣1,
再設(shè)k(x)(x2﹣1)ex﹣1(x>1),則k′(x)=(x2+2x﹣1)ex,
當x>1時,k′(x)>1,即k(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增
∵k(1)=﹣1<0,k(2)=3e2﹣1>0
∴在(1,2)上存在唯一x0,使k(x0)=0,即存在唯一x0∈(1,2),使h′(x0)=0
函數(shù)h(x)在(1,x0)上,h′(x0)<0,函數(shù)單調(diào)減,在(x0,+∞)上,h′(x0)>0,函數(shù)單調(diào)增,
∴h(x)min=h(x0)<h(1)=﹣1<0
∵h(2)=e2﹣2>0
y=h(x)的大致圖象如圖,
由此可得y=h(x)在(1,+∞)上只有一個零點,即g(x)=x,x>1時只有1個實根.
【解析】(1)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),再令f′(x)>0得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,令f′(x)<0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,進而可得函數(shù)f(x)的最小值,從而可證m<n;(3)先構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)-x,再判斷函數(shù)h(x)的單調(diào)性,進而可得函數(shù)h(x)的最小值,最后借助圖象可得方程g(x)=x的根的個數(shù).
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B,C為直角坐標系xOy中的三個定點
(Ⅰ)若點D為□ABCD的第四個頂點,求||;
(Ⅱ)若點P在直線OC上,且·=4,求點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且對任意正整數(shù)n,都有3an=2Sn+3成立.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log3an , 求數(shù)列{ }的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知四面體ABCD的頂點都在球O表面上,且AB=BC=AC=2 ,DA=DB=DC=2,過AD作相互垂直的平面α、β,若平面α、β截球O所得截面分別為圓M、N,則( )
A.MN的長度是定值
B.MN長度的最小值是2
C.圓M面積的最小值是2π
D.圓M、N的面積和是定值8π
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且對任意正整數(shù)n,都有3an=2Sn+3成立.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log3an , 求數(shù)列{ }的前n項和Tn .
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【題目】當時,函數(shù)的值域是_________.
【答案】[-1,2]
【解析】:f(x)=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+),
∵﹣≤x≤,
∴﹣≤x+≤,
∴﹣≤sin(x+)≤1,
∴函數(shù)f(x)的值域為[﹣1,2],
故答案為:[﹣1,2].
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】若點O在內(nèi),且滿足,設(shè)為的面積, 為的面積,則=________.
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【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,E、F分別為A1C1、B1C1的中點,D為棱CC1上任一點.
(Ⅰ)求證:直線EF∥平面ABD;
(Ⅱ)求證:平面ABD⊥平面BCC1B1 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=6cos2+sinωx-3(ω>0)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點,B、C為圖象與x軸的交點,且△ABC為正三角形.
(1)求ω的值及函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x0)=,且x0∈(-,),求f(x0+1)的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+(x﹣1)ex .
(1)當a=﹣ 時,求f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)當﹣ <a<﹣ 時,f(x)是否存在極值?若存在,求所有極值的和的取值范圍.
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