Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，把此梯形繞其直角邊AD旋轉(zhuǎn)120°得到如圖所示的幾何體，點G是∠BDF平分線上任意一點（異于點D），點M是弧

BF

的中點．
（Ⅰ）求證：BF⊥AG；
（Ⅱ）求二面角B-DM-F的大小的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AM交BF于點O，證明AM⊥BF，DA⊥BF，可得BF⊥平面ADM，從而BF⊥AG；
（Ⅱ）作BN⊥DM，垂足為N，連接FN，則FN⊥DM，利用余弦定理可求二面角B-DM-F的大小的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接AM交BF于點O，則
∵點M是弧

BF

的中點，
∴AM⊥BF且O為BF的中點，
∵DB=DF，
∴DO平分∠BDF，即點G在直線DO上，
∵DA⊥AB，DA⊥AF，AB∩AF=A，
∴DA⊥平面ABF，
∴DA⊥BF，
∵DA∩AM=A，
∴BF⊥平面ADM，
∵AG?平面ADM，
∴BF⊥AG；
（Ⅱ）解：∵DB=DF，BM=FM，DM=DM，
∴△BDM≌△FDM，
作BN⊥DM，垂足為N，連接FN，則FN⊥DM，∠BNF為所求．
∵AB=AD=2，在△DBM和△DFM中，運用等面積可得BN=FN=

14

2

，
∵BF=2

3

，
∴cos∠BNF=

BN2+FN2-BF2

2BN•FN

=-

5

7

∴二面角B-DM-F的大小的余弦值為-

5

7

．

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問題，考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角大小的余弦值，屬于中檔題．