Question

已知向量

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），函數(shù)f（x）=

m

•

n

+2012
（1）化簡(jiǎn)f（x）的解析式，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知f（A）=2014，a=4，△ABC的面積為4

3

，試判定△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式，結(jié)合降冪公式（二倍角公式逆用）及輔助角公式，易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù) f（x）的解析式；結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性，易求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）通過(guò)f（A）=2014，求出A的值，利用三角形的面積以及余弦定理直接求出b、c，即可判斷三角形的形狀．

解答： 解：（1）f（x）=

m

•

n

+2012=2cos2x+

3

sin2x+2012=2sin（2x+

π

6

）+2013，

由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵f（A）=2014，∴2sin（2A+

π

6

）+2013=2014，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，又∵

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

．
∵a=4，△ABC的面積為4

3

，
∴

1

2

bcsinA=4

3

∴bc=16，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=32
∴b=c=4，
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，判斷三角形的形狀的方法，考查計(jì)算能力．