Question

【題目】已知非空集合滿足.若存在非負整數(shù)，使得當時，均有，則稱集合具有性質.記具有性質的集合的個數(shù)為.

（1）求的值；

（2）求的表達式.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）因為，所以，對應的分別為，故．（2）通過研究相鄰兩項之間關系，得遞推關系，進而可求通項：設當時，具有性質的集合的個數(shù)為，當時，，關鍵計算關于的表達式，① 當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，；② 當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，，最后根據(jù)累加法解得

試題解析：（1）當時，具有性質，

對應的分別為，故．

（2）可知當時，具有性質的集合的個數(shù)為，

則當時，，

其中表達也具有性質的集合的個數(shù)，

下面計算關于的表達式，

此時應有，即，故對分奇偶討論，

① 當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，故應該有，

則對每一個，和必然屬于集合，且和，…，

和共有組數(shù)，每一組數(shù)中的兩個數(shù)必然同時屬于或不屬于集合，

故對每一個，對應的具有性質的集合的個數(shù)為

，

所以，

② 當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，故應該有，

同理，

綜上，可得又，

由累加法解得

即