Question

【題目】在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖2）.

（1）求證：平面；

（2）線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）線段上存在點，且

【解析】

（1）推導出，從而四邊形為平行四邊形，推導出，由此能證明平面；

（2）建立空間直角坐標系，設，利用向量法能求出線段上存在點，且時，使得CQ與平面BCD′所成角的正弦值為.

（1）證明：因為在梯形中，，為的中點，

所以，

所以四邊形為平行四邊形，

因為線段與交于點，

所以為線段的中點，

所以中，

因為平面，平面，

所以平面.

（2）解：平行四邊形中，，

所以四邊形是菱形，，垂足為，

所以，

因為平面，平面，

所以是二面角的平面角，

因為二面角為直二面角，

所以，即.

可以如圖建立空間直角坐標系，其中，

因為在圖1菱形中，，

所以，

所以，

所以，，

設為平面的法向量，

因為，所以，即，

取，得到，

所以；

線段上存在點使得與平面所成角的正弦值為，

設，

因為，

所以，

因為，

所以，

因為，所以，

所以線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.