【題目】在梯形中,,的中點(diǎn),線段交于點(diǎn)(如圖1.沿折起到的位置,使得二面角為直二面角(如圖2.

1)求證:平面;

2)線段上是否存在點(diǎn),使得與平面所成角的正弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)線段上存在點(diǎn),且

【解析】

1)推導(dǎo)出,從而四邊形為平行四邊形,推導(dǎo)出,由此能證明平面;

2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用向量法能求出線段上存在點(diǎn),且時(shí),使得CQ與平面BCD′所成角的正弦值為.

1)證明:因?yàn)樵谔菪?/span>中,,的中點(diǎn),

所以,

所以四邊形為平行四邊形,

因?yàn)榫段交于點(diǎn),

所以為線段的中點(diǎn),

所以

因?yàn)?/span>平面,平面

所以平面.

2)解:平行四邊形中,,

所以四邊形是菱形,,垂足為

所以,

因?yàn)?/span>平面,平面,

所以是二面角的平面角,

因?yàn)槎娼?/span>為直二面角,

所以,即.

可以如圖建立空間直角坐標(biāo)系,其中,

因?yàn)樵趫D1菱形中,,

所以,

所以

所以,

設(shè)為平面的法向量,

因?yàn)?/span>,所以,即,

,得到

所以;

線段上存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為,

設(shè),

因?yàn)?/span>,

所以

因?yàn)?/span>,

所以

因?yàn)?/span>,所以

所以線段上存在點(diǎn),且,使得與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),圓的方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

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(1)若直線軸分別交于點(diǎn),,且的面積為,求的值;

(2)記的面積為,求的最小值,并指出最小時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

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(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線與曲線相交于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn),已知,求實(shí)數(shù)的值.

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A.C可能是線段AB的中點(diǎn)

B.D可能是線段AB的中點(diǎn)

C.C、D可能同時(shí)在線段AB

D.C、D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上

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③一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面

④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面

其中正確命題個(gè)數(shù)是( )

A. B. C. 1D.

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