【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),且直線的傾斜角為,,已知橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上異于的兩點(diǎn),若直線的斜率等于直線斜率的倍,求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根據(jù)離心率可求得,利用橢圓定義和余弦定理可構(gòu)造方程求得,進(jìn)而確定,由此得到橢圓方程;
(2)設(shè)方程為,將直線與橢圓方程聯(lián)立,可結(jié)合韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo),同理可得點(diǎn)坐標(biāo),由整理可得關(guān)于的函數(shù)的形式,利用對(duì)號(hào)函數(shù)可求得的最大值.
(1)橢圓的離心率,,
設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為,連接,則,
在中,由余弦定理得:,
即,又 解得:,,,橢圓的方程為.
(2)由(1)知:,,
設(shè)直線斜率為,則直線方程為,
由得:,
則,
設(shè),則,,,,
由可得直線方程為,
同理可求得:,
由對(duì)稱性,不妨設(shè),則四邊形的面積:
,
令,則(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)),
,的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG與平面所成銳二面角的大。
(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角為,若存在,求線段的長度;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知由n(n∈N*)個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A={a1,a2,…,an}(a1<a2<…<an,n≥3),記SA=a1+a2+…+an,對(duì)于任意不大于SA的正整數(shù)m,均存在集合A的一個(gè)子集,使得該子集的所有元素之和等于m.
(1)求a1,a2的值;
(2)求證:“a1,a2,…,an成等差數(shù)列”的充要條件是“”;
(3)若SA=2020,求n的最小值,并指出n取最小值時(shí)an的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是邊長為1的正三角形,點(diǎn)P在所在的平面內(nèi),且(a為常數(shù)),下列結(jié)論中正確的是( )
A.當(dāng)時(shí),滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)
B.當(dāng)時(shí),滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)
C.當(dāng)時(shí),滿足條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)
D.當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí),滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線與拋物線交于,兩點(diǎn),分別過,作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn).
(1)若直線變動(dòng)時(shí),點(diǎn)始終在以為直徑的圓上,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)圓,若直線與圓相切于點(diǎn)(點(diǎn)在線段上).是否存在點(diǎn)使得?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的短軸長為,離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)M,N分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)且不與x軸重合的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)t(),使得直線:與直線的交點(diǎn)P滿足P,A,M三點(diǎn)共線?若存在,求出的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.
(1)若恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子設(shè)備工廠生產(chǎn)一種電子元件,質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前將次品檢出.估計(jì)這個(gè)廠生產(chǎn)的電子元件的次品率為0.2%,且電子元件是否為次品相互獨(dú)立,一般的檢測(cè)流程是:先把個(gè)電子元件串聯(lián)起來成組進(jìn)行檢驗(yàn),若檢測(cè)通過,則全部為正品;若檢測(cè)不通過,則至少有一個(gè)次品,再逐一檢測(cè),直到把所有的次品找出,若檢驗(yàn)一個(gè)電子元件的花費(fèi)為5分錢,檢驗(yàn)一組(個(gè))電子元件的花費(fèi)為分錢.
(1)當(dāng)時(shí),估算一組待檢元件中有次品的概率;
(2)設(shè)每個(gè)電子元件檢測(cè)費(fèi)用的期望為,求的表達(dá)式;
(3)試估計(jì)的值,使每個(gè)電子元件的檢測(cè)費(fèi)用的期望最小.(提示:用進(jìn)行估算)
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