【題目】已知在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點.
(Ⅰ)求證:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG與平面所成銳二面角的大;
(Ⅲ)線段上是否存在點,使得直線與平面所成角為,若存在,求線段的長度;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析 (Ⅱ)(Ⅲ)不存在,見解析
【解析】
(Ⅰ)正三角形中,由平面得到,所以得到面;(Ⅱ)以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)平面的法向量,和平面的法向量,從而得到平面與平面所成銳二面角的余弦值,再得到所求的角;(Ⅲ)線段上存在滿足題意的點,直線與平面法向量的夾角為,設(shè),,利用向量的夾角公式,得到關(guān)于的方程,證明方程無解,從而得到不存在滿足要求的點.
(Ⅰ)證明:因為△是正三角形,
是的中點,
所以 .
又因為平面,平面,
所以.
,平面,
所以面.
(Ⅱ)如圖,以點為原點分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則,
,,
設(shè)平面的法向量為
所以,即
令,則 ,
又平面的法向量,
設(shè)平面與平面所成銳二面角為,
所以.
所以平面與平面所成銳二面角為.
(Ⅲ)假設(shè)線段上存在點,
使得直線與平面所成角為,
即直線與平面法向量所成的角為,
設(shè),,
,
所以
所以,
整理得,
,方程無解,
所以,不存在這樣的點.
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【題目】根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)技術(shù)規(guī)定(試行)》規(guī)定:空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間、、、、、時,其對應(yīng)的空氣質(zhì)量狀況分別為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染.如圖為某市2019年10月1日至10月7日的空氣質(zhì)量指數(shù)直方圖,在這7天內(nèi),下列結(jié)論正確的是( )
A.前4天的方差小于后3天的方差
B.這7天內(nèi)空氣質(zhì)量狀況為嚴重污染的天數(shù)為3
C.這7天的平均空氣質(zhì)量狀況為良
D.空氣質(zhì)量狀況為優(yōu)或良的概率為
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,過作直線與橢圓交于,兩點,的周長為8.
(1)求橢圓的標(biāo)準方程;
(2)問:的內(nèi)切圓面積是否有最大值?若有,試求出最大值;若沒有,說明理由.
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【題目】(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
在直角坐標(biāo)系中,半圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線的極坐標(biāo)方程是,射線OM:與半圓C的交點為O、P,與直線的交點為Q,求線段PQ的長.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=m,求證:++≥3.
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【題目】某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
積極參加 班級工作 | 不太主動參加 班級工作 | 合計 | |
學(xué)習(xí)積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 6 | 19 | 25 |
合計 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果隨機抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)試運用獨立性檢驗的思想方法能否有99.9%的把握認為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系?并說明理由.(參考下表)
P(K2 ≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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【題目】在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上,甲、乙、丙三個人組成的解密團隊參加一項解密挑戰(zhàn)活動,規(guī)則是由密碼專家給出題目,然后由個人依次出場解密,每人限定時間是分鐘內(nèi),否則派下一個人.個人中只要有一人解密正確,則認為該團隊挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測試情況,抽取了甲次的測試記錄,繪制了如下的頻率分布直方圖.
(1)若甲解密成功所需時間的中位數(shù)為,求、的值,并求出甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率;
(2)在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來自各方及自身的心理壓力,甲,乙,丙解密成功的概率分別為,其中表示第個出場選手解密成功的概率,并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替,各人是否解密成功相互獨立.
①求該團隊挑戰(zhàn)成功的概率;
②該團隊以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個人上場解密,求團隊挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠的檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上生產(chǎn)零件的情況,從產(chǎn)品中隨機抽取了個進行測量,根據(jù)所測量的數(shù)據(jù)畫出頻率分布直方圖如下:
如果:尺寸數(shù)據(jù)在內(nèi)的零件為合格品,頻率作為概率.
(1)從產(chǎn)品中隨機抽取件,合格品的個數(shù)為,求的分布列與期望:
(2)為了提高產(chǎn)品合格率,現(xiàn)提出,兩種不同的改進方案進行試驗,若按方案進行試驗后,隨機抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù)的期望是:若按方案試驗后,抽取件產(chǎn)品,不合格個數(shù)的期望是,你會選擇哪個改進方案?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點為,點為橢圓的左、右頂點,點是橢圓上一點,且直線的傾斜角為,,已知橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上異于的兩點,若直線的斜率等于直線斜率的倍,求四邊形面積的最大值.
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