【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長(zhǎng)軸為直徑的圓叫做橢圓的輔助圓”.過(guò)橢圓第四象限內(nèi)一點(diǎn)Mx軸的垂線交其輔助圓于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí),稱(chēng)點(diǎn)N為點(diǎn)M下輔助點(diǎn)”.已知橢圓E上的點(diǎn)的下輔助點(diǎn)為(1,﹣1.

1)求橢圓E的方程;

2)若△OMN的面積等于,求下輔助點(diǎn)N的坐標(biāo);

3)已知直線lxmyt0與橢圓E交于不同的AB兩點(diǎn),若橢圓E上存在點(diǎn)P,滿(mǎn)足,求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)直接根據(jù)定義先求得a,進(jìn)而得到b即可;

2)設(shè)點(diǎn)Nx0,y0)(y01),則點(diǎn)Mx0,y1)(y10),根據(jù)橢圓方程以及面積可得x0y1,將其與聯(lián)立得到N坐標(biāo);

3)設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理得,因?yàn)?/span>P在橢圓上可得4t2m2+2,表示出三角形面積結(jié)合基本不等式即可求其最小值.

解:(1)∵橢圓上的點(diǎn)(1,)的下輔助點(diǎn)為(1,﹣1),

∴輔助圓的半徑為R,橢圓長(zhǎng)半軸為aR,

將點(diǎn)(1,)代入橢圓方程中,解得b1,

∴橢圓E的方程為

2)設(shè)點(diǎn)Nx0,y0)(y01),則點(diǎn)Mx0,y1)(y10),將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入輔助圓方程和橢圓方程可得,

x02+y022,,故y022y12,即y0y1

SOMNx0y1y0,則x0y1,

x0y1聯(lián)立可解得

∴下輔助點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,)或();

3)由題意可設(shè)Ax1y1),Bx2,y2.

聯(lián)立整理得(m2+2y2+2mty+t220,則△=8m2+2t2)>0.

根據(jù)韋達(dá)定理得,

因?yàn)?/span>.

所以

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E上,

所以,

整理得

4t2m2+2,

在直線lxmyt0中,

由于直線l與坐標(biāo)軸圍成三角形,則t≠0,m≠0.

x0,得,令y0,得xt.

所以三角形面積為,

當(dāng)且僅當(dāng)m22,t21時(shí),取等號(hào),此時(shí)240.

所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為.

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A.B.C.D.

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