【題目】有人玩擲硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件,棋盤上標(biāo)有第0站,第1站,第2站,……,第100站.一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動一次,若擲出正面,棋向前跳一站(從k到),若擲出反面,棋向前跳兩站(從k到),直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時,該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為.
(1)求,,的值;
(2)求證:,其中,;
(3)求及的值.
【答案】(1)...(2)見解析;(3),.
【解析】
(1)分析投擲硬幣的情況,再分別計算即可.
(2)根據(jù)棋子跳到第站情況有且僅有①棋子先到第站,又?jǐn)S出反面,②棋子先到第站,又?jǐn)S出正面,兩種情況,再求出遞推公式再化簡證明即可.
(3)根據(jù)(2)可知數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列得到,再累加求和求出即可求解及.
(1)棋子開始在第0站為必然事件,∴.
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面,棋子跳到第1站,其概率為,∴.
棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮:
①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面,其概率為;
②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面,其概率為.
∴.
(2)證明:棋子跳到第n()站的情況是下列兩種,而且也只有兩種:
①棋子先到第站,又?jǐn)S出反面,其概率為;
②棋子先到第站,又?jǐn)S出正面,其概率為.
∴.
∴.
(3)由(2)知,當(dāng)時,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.
∴,,
,…,.
以上各式相加,得,
∴.
∴,
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】各項為正數(shù)的數(shù)列如果滿足:存在實數(shù),對任意正整數(shù)n,恒成立,且存在正整數(shù)n,使得或成立,則稱數(shù)列為“緊密數(shù)列”,k稱為“緊密數(shù)列”的“緊密度”.已知數(shù)列的各項為正數(shù),前n項和為,且對任意正整數(shù)n,(A,B,C為常數(shù))恒成立.
(1)當(dāng),,時,
①求數(shù)列的通項公式;
②證明數(shù)列是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”;
(2)當(dāng)時,已知數(shù)列和數(shù)列都為“緊密數(shù)列”,“緊密度”分別為,,且,,求實數(shù)B的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:.
Ⅰ直線l的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
Ⅱ求直線l與曲線C交點的極坐標(biāo)其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”.過橢圓第四象限內(nèi)一點M作x軸的垂線交其“輔助圓”于點N,當(dāng)點N在點M的下方時,稱點N為點M的“下輔助點”.已知橢圓E:上的點的下輔助點為(1,﹣1).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若△OMN的面積等于,求下輔助點N的坐標(biāo);
(3)已知直線l:x﹣my﹣t=0與橢圓E交于不同的A,B兩點,若橢圓E上存在點P,滿足,求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.
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【題目】已知8支球隊中有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組,每組4支.求:(1)A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率;
(2)A組中至少有兩支弱隊的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠能夠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品每噸所需的煤、電以及每噸的產(chǎn)值分別是:
用煤(t) | 用電(kw) | 產(chǎn)值(千元) | |
甲種產(chǎn)品 | 70 | 20 | 80 |
乙種產(chǎn)品 | 30 | 50 | 110 |
如果該廠每月至多供煤560t,供電450kw,問如何安排生產(chǎn),才能使該廠月產(chǎn)值最大?月產(chǎn)值是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在二項式的展開式中,前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列。
(1)求展開式的第四項;
(2)求展開式的常數(shù)項;
(3)求展開式中各項的系數(shù)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為BD的中點,G為PD的中點,,,,連接CE并延長交AD于F.
(1)求證:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】考察正方體6個面的中心,甲從這6個點中任意選兩個點連成直線,乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線,則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于( ).
A.B.C.D.
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