Question

【題目】已知，其中常數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求證： ；

（3）求證： .

選做題：

Answer 1

【答案】(1) 有極小值，沒有極大值.(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：先寫出函數(shù)的定義域，（1）由，求出的導數(shù)，再求出的單調(diào)性，即可求得極值；（2）先證明：當恒成立時，有成立，若，則顯然成立；若，運用參數(shù)分離，構造新函數(shù)通過求導數(shù)及單調(diào)性，結合函數(shù)零點存在定理，即可得證；（3）討論當當時， 恒成立，可設設，求出導數(shù)，單調(diào)區(qū)間及最大值，運用不等式的性質(zhì)，即可得證.

試題解析：函數(shù)的定義域為，

（1）當時， ， ，

而在上單調(diào)遞增，又，

當時， ，則在上單調(diào)遞減；

當時， ，則在上單調(diào)遞增，所以有極小值，沒有極大值.

（2）先證明：當恒成立時，有成立.

若，則顯然成立；

若，由得，令，

則，

令，由得在上單調(diào)遞增，

又∵，所以在上為負，在上為正，

∴在上遞減，在上遞增

∴，從而.

因而函數(shù)若有兩個零點，則，所以，

由得，則

，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴在上單調(diào)遞增

∴，則

∴

由得，則

∴，

綜上得.

（3）由（2）知當時， 恒成立，所以，

即，

設，則，

當時， ，所以在上單調(diào)遞增；

當時， ，所以在上單調(diào)遞減；

所以的最大值為，即，

因而，

所以，即

點睛:導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結合思想的應用．