【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，證明： .

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）先求得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由及對(duì)取值的討論可得當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）設(shè)， ，可得， 。故原不等式可化為證，等價(jià)于。在此基礎(chǔ)上，令，轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性可得不等式成立。

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

∵

∴.

①當(dāng)時(shí)， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 上單調(diào)遞減。

綜上，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（2）由方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， ，可設(shè)，

∵， ，

∴，

∴.

要證，只需證，等價(jià)于，

設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，

則，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴，

∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱中， 平面， ， 分別是棱的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）.

（1）將兩曲線化成普通坐標(biāo)方程；

（2）求兩曲線的公共弦長(zhǎng)及公共弦所在的直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，其中常數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證： ；

（3）求證： .

選做題：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)與軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求的面積．

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得經(jīng)， 為領(lǐng)邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，焦距為2，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍．

(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)P(2，0)，過橢圓E左焦點(diǎn)F的直線l交E于A、B兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的方程為（， 為常數(shù)）.

（1）判斷曲線的形狀；

（2）設(shè)曲線分別與軸， 軸交于點(diǎn)， （， 不同于原點(diǎn)），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設(shè)直線： 與曲線交于不同的兩點(diǎn)， ，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線.

(1)若曲線C在點(diǎn)處的切線為，求實(shí)數(shù)和的值；

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)，曲線總在直線:的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為， ， 是橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（位于右側(cè)），是橢圓在軸正半軸上的頂點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)和，使得向量與共線？如果存在，求出直線方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

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