【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面為梯形,,,且.
(Ⅰ)若點(diǎn)為上一點(diǎn)且,證明:平面;
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使得?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)要證線面平行,就要證線線平行,由線面平行的性質(zhì)定理知平行線是過(guò)的平面與平面的交線,由已知過(guò)點(diǎn)作,交于,連接,就是要找的平行線;(Ⅱ)求二面角,由于圖中已知兩兩垂直,因此以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,可用向量法求得二面角,只要求得兩個(gè)面的法向量,由法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)可得(需確定二面角是銳二面角還是鈍二面角);(3)有了第(2)小題的空間直角坐標(biāo)系,因此解決此題時(shí),假設(shè)存在點(diǎn),設(shè),由求得即可.
試題解析:(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)作,交于,連接,
因?yàn)?/span>,所以.
又,,所以.
所以為平行四邊形, 所以.
又平面,平面,(一個(gè)都沒(méi)寫(xiě)的,則這1分不給)
所以平面.
(Ⅱ)因?yàn)樘菪?/span>中,,,所以.
因?yàn)?/span>平面,所以,
如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,
因?yàn)?/span>
所以,即,
取得到,
同理可得,
所以,
因?yàn)槎娼?/span>為銳角,
所以二面角為.
(Ⅲ)假設(shè)存在點(diǎn),設(shè),
所以,
所以,解得,
所以存在點(diǎn),且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史戶(hù)獲益率(獲益率=獲益÷保費(fèi)收入)的頻率分布直方圖如圖所示:
(Ⅰ)試估計(jì)平均收益率;
(Ⅱ)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)若每份保單的保費(fèi)在元的基礎(chǔ)上每增加元,對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)量(萬(wàn)份)與(元)有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系,從歷史銷(xiāo)售記錄中抽樣得到如下組與的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
(元) | |||||
銷(xiāo)量(萬(wàn)份) |
(ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出銷(xiāo)量(萬(wàn)份)與(元)的回歸方程為;
(ⅱ)若把回歸方程當(dāng)作與的線性關(guān)系,用(Ⅰ)中求出的平均獲益率估計(jì)此產(chǎn)品的獲益率,每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大獲益,并求出該最大獲益.
參考公示:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA面ABCD,且AB=2,AD=4,
AP=4,F是線段BC的中點(diǎn).
⑴ 求證:面PAF面PDF;
⑵ 若E是線段AB的中點(diǎn),在線段AP上是否存在一點(diǎn)G,使得EG面PDF?若存在,求出線段AG的長(zhǎng)度;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,曲線在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸.
(Ⅰ)求線段的長(zhǎng);
(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的動(dòng)直線交曲線于點(diǎn)和,交于點(diǎn),若直線的斜率依次成等差數(shù)列,試問(wèn):是否過(guò)定點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,其中常數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求證: ;
(3)求證: .
選做題:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐的底面為直角梯形, , ,且, .
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸,焦距為2,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.
(Ⅰ)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)P(2,0),過(guò)橢圓E左焦點(diǎn)F的直線l交E于A、B兩點(diǎn),若對(duì)滿足條件的任意直線l,不等式 ≤λ(λ∈R)恒成立,求λ的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程.
(II)求證:當(dāng)時(shí), .
(III)設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】唐三彩,中國(guó)古代陶瓷燒制工藝的珍品,它吸取了中國(guó)國(guó)畫(huà)、雕塑等工藝美術(shù)的特點(diǎn),在中國(guó)文化中占有重要的歷史地位,在陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史,制作工藝十分復(fù)雜,它的制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立。某陶瓷廠準(zhǔn)備仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工藝品,根據(jù)該廠全面治污后的技術(shù)水平,經(jīng)過(guò)第一次燒制后,甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為, , ,經(jīng)過(guò)第二次燒制后,甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為, , .
(1)求第一次燒制后甲、乙、丙三件中恰有一件工藝品合格的概率;
(2)經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后,甲、乙、丙三件工藝品成為合格工藝品的件數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.
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