已知橢圓過點,離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，直線、分別交直線 于、兩點,線段的中點為.記直線的斜率為，求證: 為定值.
（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可得以下方程組: ，解這個方程組求出、的值便得橢圓的方程；（Ⅱ）將用表示出來，這樣就是一個只含的式子，將該式化簡即可.那么如何用來表示？
設，.因為A（2，0），所以直線的方程分別為：.
令得：所以的中點為：
由此得直線的斜率為：

       ①

再設直線的方程為，代入橢圓方程得:
設，，則由韋達定理得:代入①式，便可將用
表示出來，從而得到的值.
試題解析：（Ⅰ）由題設: ，解之得,所以橢圓的方程為  4分
（Ⅱ）設直線的方程為代入橢圓方程得:
設，，則由韋達定理得:
直線的方程分別為：

令,得：所以


              13分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓直線與圓相切，且交橢圓于兩點，是橢圓的半焦距，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）O為坐標原點，若求橢圓的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下，設橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線AS，BS與直線分別交于M,N兩點，求線段MN的長度的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設拋物線的焦點為，準線為，，以為圓心的圓與相切于點，的縱坐標為，是圓與軸除外的另一個交點.
(I)求拋物線與圓的方程；
( II)已知直線，與交于兩點，與交于點,且， 求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設雙曲線以橢圓的兩個焦點為焦點,且雙曲線的一條漸近線是，
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于不同兩點,且都在以為圓心的圓上,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點在軌跡上，且關于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點.
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且的面積為20，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點作軸，垂足為，點在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點的軌跡的方程；
（3）設直線（點不同于）與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設拋物線的頂點在原點，準線方程為x =﹣2，則拋物線的方程是    .

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