Question

已知點(diǎn)，是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）.

試題分析：(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放縮和數(shù)列的裂項(xiàng)求和
試題解析：（I）方法一
（I）當(dāng)垂直于軸時(shí)，顯然不符合題意，
所以可設(shè)直線的方程為，代入方程得：

∴       得：                2分
∴直線的方程為 
∵中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為                  4分       
∴的中垂線方程為             
∵的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，得                 6分
∴直線的方程為                                   7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為     8分
因?yàn)橹本�的方程為
∴到直線的距離               10分
由 得，，

                     12分
∴,  設(shè),則，
，，由，得 
在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，有最大值
得：時(shí)，    
直線方程為                                15分
(本題若運(yùn)用基本不等式解決，也同樣給分)
法二：
（Ⅰ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，顯然不符合題意，
當(dāng)不垂直于軸時(shí)，根據(jù)題意設(shè)的中點(diǎn)為，
則                                          2分
由、兩點(diǎn)得中垂線的斜率為，                            4分
由，得                                              6分
∴直線的方程為                                          7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線的方程為                          8分
中垂線方程為，中垂線交軸于點(diǎn)
點(diǎn)到直線的距離為                         10分
由得：


     
當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)直線方程為       15分