Question

設(shè)雙曲線(xiàn)以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)是，
(1)求雙曲線(xiàn)的方程；
(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于不同兩點(diǎn),且都在以為圓心的圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)；（2）

試題分析：（1）雙曲線(xiàn)和橢圓共焦點(diǎn)，故可設(shè)其方程為，且，，聯(lián)立解；（2）直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，一般根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理列方程來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024157766431.png" style="vertical-align:middle;" />在以為圓心的圓上，根據(jù)垂徑定理，連接圓心和弦的中點(diǎn)的直線(xiàn)必垂直于，∴將直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)聯(lián)立，得關(guān)于的一元二次方程且，得關(guān)于的不等式，利用韋達(dá)定理確定弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用列式，得關(guān)于的方程，與不等式聯(lián)立消去，得關(guān)于的不等式，解之可得.
試題解析：(1)依題雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，，又雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)是，，雙曲線(xiàn)的方程為：；
(2)設(shè),,
由，消去整理得：，依題意得 (*)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，
又點(diǎn)在直線(xiàn)上，,,兩點(diǎn)都在以為圓心的同一圓上,,即，，整理得，代人(*)式得：解得：或，
又,,故所求的取值范圍是.