Question

經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點(diǎn)在軌跡上，且關(guān)于軸對稱，過線段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn).
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點(diǎn)到直線的距離等于，且的面積為20，求直線的方程.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）.

試題分析：本題主要考查拋物線、圓、直線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查用代數(shù)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.第一問，根據(jù)圓與直線相切列出表達(dá)式；第二問，把證明角相等轉(zhuǎn)化為證明兩個斜率之間的關(guān)系；第三問，找直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率，本問應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想.
試題解析：（1）設(shè)動圓圓心為，依題意得.
整理，得，所以軌跡的方程為.(2分)
（2）由（1）得，即，則.
設(shè)點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，
由題意知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，
則，
即.
因為，，
由于，即，
所以.(6分)
（3）由點(diǎn)到的距離等于，可知，

不妨設(shè)點(diǎn)在上方（如圖），即，直線的方程為：.
由，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
由（2）知，同理可得，
所以的面積，解得.
當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
直線的方程為，即.
當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
直線的方程為，即. (12分)