Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線過點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，的面積為，求的值；

（3）若直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線的縱截距為，證明：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得得橢圓方程；

（2）設(shè)直線，設(shè)，直線方程代入拋物線方程后可得，由弦長公式求得，求出到直線的距離，可表示出三角形面積，從而求得；

（3）設(shè)，得，由兩點(diǎn)坐標(biāo)得出直線方程，求出，同樣由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程，從而求出，計(jì)算，注意兩點(diǎn)在橢圓上，有，，代入后可得常數(shù)．

[解]（1）設(shè)橢圓的方程為，由題設(shè)得，

，橢圓的方程是

（2）設(shè)直線，設(shè)，由得得.

與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，，

，，

則

到的距離，又，

，故.

（3）設(shè)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，

則直線，設(shè)得

直線，設(shè)得

，又，，