Question

【題目】按照如下規(guī)則構(gòu)造數(shù)表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即從第二行起將上一行的數(shù)的每一項(xiàng)各項(xiàng)加1寫(xiě)出，再各項(xiàng)加3寫(xiě)出）

2

3,5

4,6,6,8

5,7,7,9,7,9,9,11

……………………………………

若第行所有的項(xiàng)的和為．

（1）求；

（2）試求與的遞推關(guān)系，并據(jù)此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，求和的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）， （3），

【解析】

（1）根據(jù)已給數(shù)據(jù)可計(jì)算，寫(xiě)出第5行后可計(jì)算；

（2）根據(jù)數(shù)表的形成過(guò)程，可得遞推關(guān)系：，化簡(jiǎn)后，構(gòu)造新數(shù)列是等差數(shù)列，通項(xiàng)公式可求；

（3）計(jì)算，并裂項(xiàng)得，即用裂項(xiàng)相消法求得和，然后可求得極限．

（1）第5行數(shù)據(jù)是6，8，8，10，8，10，10，12，8，10，10，12，10，12，12，14．

∴ ．

（2）由題意，第行共有項(xiàng)，

于是有

等式兩邊同除，得，

即為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為

所以，即．

（3）因?yàn)?span>

所以

所以，

．