【題目】已知橢圓C)的焦距為,且右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形.若直線l與橢圓C交于、,且在橢圓C上存在點M,使得:(其中O為坐標原點),則稱直線l具有性質(zhì)H.

1)求橢圓C的方程;

2)若直線l垂直于x軸,且具有性質(zhì)H,求直線l的方程;

3)求證:在橢圓C上不存在三個不同的點P、QR,使得直線、、都具有性質(zhì)H.

【答案】12;(3)證明見解析;

【解析】

(1)根據(jù)正三角形中的長度關系列出的關系求解即可.

(2) 設直線,再求得滿足的關系式,進而代入化簡求解即可.

(3)假設存在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R滿足條件,再將對應的點坐標代入橢圓方程,分情況討論得出矛盾即可.

(1),所以,

又右焦點F與短軸的兩個端點組成一個正三角形,所以,

因為,

解得:,,

所以,橢圓方程為:

(2)設直線,則,

其中滿足:,,

,

(其中O為坐標原點),

,

∵點在橢圓上,

,

,

,

∴直線的方程為.

(3) 證明:假設在橢圓上存在三個不同的點,

使得直線都具有性質(zhì),

∵直線具有性質(zhì),

∴在橢圓上存在點M,使得:,

,則,,

∵點在橢圓上,∴,

又∵,,代入化簡得,①

同理:②, ,③

1)若中至少一個為0,不妨設,則,

由①③得,即為長軸的兩個端點,則②不成立,矛盾。

2)若均不為0,則由①②③得,矛盾。

∵在橢圓C上不存在三個不同的點P、Q、R,使得直線、都具有性質(zhì)H.

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