Question

以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別作為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，A、B、M是該橢圓上的任意三點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)）．若存在銳角θ，使

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，則直線OA、OB的斜率乘積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：首先，可以設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而得到

OM

的坐標(biāo)表示，然后，再根據(jù)M點(diǎn)在該橢圓上，建立關(guān)系式，結(jié)合A、B點(diǎn)在也該橢圓上，得到

x 2 1

2b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

2b2

+

y 2 2

b2

=1，從而得到相應(yīng)的結(jié)果．

解答： 解：由題意可設(shè)橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

⇒M(cosθ•x1+sinθ•x2，cosθ•y1+sinθ•y2)
因?yàn)镸點(diǎn)在該橢圓上，
∴

(cosθ•x1+sinθ•x2)2

2b2

+

(cosθ•y1+sinθ•y2)2

b2

=1，則

cos2θ• x 2 1 +sin2θ• x 2 2 +2sinθcosθ•x1x2 2b2 + cos2θ• y 2 1 +sin2θ• y 2 2 +2sinθcosθ•y1y2 b2 =1 ⇒cos2θ( x 2 1 2b2 + y 2 1 b2 )+sin2θ( x 2 1 2b2 + y 2 1 b2 )+ 2sinθcosθ•x1x2 2b2 + 2sinθcosθ•y1y2 b2 =1

又因?yàn)锳、B點(diǎn)在也該橢圓上，
∴

x 2 1

2b2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

2b2

+

y 2 2

b2

=1
∴

2sinθcosθ•x1x2

2b2

+

2sinθcosθ•y1y2

b2

=0⇒

y1y2

x1x2

=-

1

2

，
即直線OA、OB的斜率乘積為-

1

2

，
同理當(dāng)橢圓方程為

y2

2b2

+

x2

b2

=1時(shí)直線OA、OB的斜率乘積為-2．
故答案為：-

1

2

或-2．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，注意審題仔細(xì)，本題的表述應(yīng)說(shuō)清楚O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且要交待橢圓的位置是以x軸、y軸為對(duì)稱軸，屬于中檔題．