Question

設(shè)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E、F依次為C₁C，BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁B、EF所成角θ的余弦值；
（2）求點(diǎn)B₁到平面AEF的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，明確A₁、B、E、F的坐標(biāo)，異面直線A₁B、EF所成角利用向量的數(shù)量積解答．
（2）利用平面AEF的一個(gè)法向量，建立空間坐標(biāo)系，求出求點(diǎn)B₁到平面AEF的距離．

解答： 解：以A為原點(diǎn)建立如圖空間坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F(xiàn)（1，1，0），
（1）

A1B

=（2，0，-2），

EF

=（1，-1，-1），
∴cosθ=

A1B • EF

| A1B || EF|

=

2+2

2 2 3

=

6

3

；
（2）設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為

n

=（a，b，c），

AE

=（0，2，1），

AF

=（1，1，0）
由

n • AE =0 n • AF =0

得

2b+c=0 a+b=0

，
令a=1，可得

n

=（1，-1，2），
∵

AB1

=（2，0，2），
∴d=

| AB1 • n |

| n|

=

6

6

=

6

，
∴點(diǎn)B₁到平面AEF的距離為

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查異面直線所成角的求法以及點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量法使解答更簡(jiǎn)便．